Produktregel

Die Produktregel oder Leibnizregel (nach Gottfried Wilhelm Leibniz) ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Mit ihr wird die Ableitung eines Produktes von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die Produktregel

${\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}$.

Der Vorteil dieser Regel liegt darin, dass es im Allgemeinen einfacher ist, die Ableitungen beider Faktoren separat zu berechnen, als jene des gesamten Produkts auf einmal. In etwa kann über die Produktregel die Ableitung des Terms ${\displaystyle x^{2}\cdot \sin(x)}$ schnell berechnet werden, wenn die Ableitungen der Terme ${\displaystyle x^{2}}$ und ${\displaystyle \sin(x)}$ schon bekannt sind (sie ergeben sich als ${\displaystyle 2x}$ bzw. ${\displaystyle \cos(x)}$ mittels der Ableitungsregeln elementarer Funktionen). Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen konstant ist, geht die Produktregel in die einfachere Faktorregel über.

Neben ihrer Bedeutung für explizite Berechnungen hat die Produktregel auch theoretische Konsequenzen. Der hinter ihr stehende mathematische Satz besagt, dass Differenzierbarkeit (also die Eigenschaft von Funktionen, eine Ableitung zu besitzen) stabil unter Produktbildung ist. Sind also Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ (in einem Punkt) ableitbar, so auch wieder ihr Produkt ${\displaystyle f\cdot g}$. Das Analogon zur Produktregel hinsichtlich Addition ist die Summenregel.

Im Rahmen der Integralrechnung kann die Produktregel dazu verwendet werden, die partielle Integration herzuleiten. Genau wie man die Integration als eine „Umkehrung“ der Differentiation gesehen werden kann, entspricht die partielle Integration der „Umkehrung“ der Produktregel.